没有DSP的浮点单元不能进行浮点运算？

最近在项目上需要控制直流无刷电机，使用到FOC及PID算法，进行FOC运算的时候需要用到三角函数和反三角函数，因此不可避免的就是浮点数的运算，而使用的MCU不带有浮点单元，因此需要使用Q格式来简化，提高计算速度。后期等项目结束后准备来详细分享一下FOC算法的实现，控制三相无刷直流电机，进而可以拓展使用机器人的关节电机及其驱动。今天的重点不在这里，还是回归主题介绍一Q格式以及其如何实现浮点数（定点数）的运算。

Q格式

Q格式是二进制的定点数格式，相对于浮点数，Q格式指定了相应的小数位数和整数位数，在没有浮点运算的平台上，可以更快地对浮点数据进行处理，以及应用在需要恒定分辨率的程序中（浮点数的精度是会变化的）；需要注意的是Q格式是概念上小数定点，通过选择常规的二进制数整数位数和小数位数，从而达到所需要的数值范围和精度。

定点数：小数点位置为确定的。

浮点数：小数点位置可以改变。

定点数通常表示为Qm.n，其中m为整数个数，n为小数个数，其中最高位位符号位并且以二进制补码的形式存储；

无符号的用UQm.n表示；

范围：[0，2m−2−n]

精度：2−n

无符号Q格式数据的推导
这里以一个16位无符号整数为例，UQ9.7所能表示的最大数据的二进制形式如下图所示；

所以不难看出，UQ9.7的范围大小和精度；
根据等比数列求和公式得到，整数域最大值如下：

Sumi=28+27+26+25+24+23+22+21+20=29−1

小数域最大值如下：

Sumf=2−1+2−2+2−3+2−4+2−5+2−6+2−7=1−2−7

因此UQ9.7的范围满足 [0，29−2−7]

有符号Q格式数据的推导
这里以一个16位有符号整数为例，UQ9.7所能表示的最大数据的二进制形式如下图所示；

所以不难求出，UQ9.7的范围大小和精度；
根据等比数列求和公式得到，整数域最大值如下：

Sumi=27+26+25+24+23+22+21+20 = 28−1

小数域最大值如下：

Sumf=2−1+2−2+2−3+2−4+2−5+2−6+2−7 = 1−2−7

因此Q9.7最大能表示的数为：28−2−7

Q9.7所能表示的最小数据的二进制形式如下图所示；

可以从图中看到，该数表示为−28；

补充一下：负数在计算机中是补码的形式存在的，补码=反码+1，符号位为1则表示为负数；那么-4该如何表示呢？以8 bit数据为例，如下所示；
          原码：0B 0000 100
          反码：0B 1111 011
          补码：0B 1111 100

综上，可以得到有符号Q9.7的范围是：[−28，28−2−7]

最大数的十六进制为0x7FFF，如下图所示；

最小数的十六进制为0X8000，如下图所示；

上述这两种情况，下面都会用到。

加法和减法需要两个Q格式的数据定标相同，即Qm1.n1和Qm2.n2满足以下条件；

{m1=m2   n1=n2}

1.  int16_t q_add(int16_t a, int16_t b)  

2.  {  

3.      return a + b;  

4.  }  

上面的程序其实并不安全，在一般的DSP芯片具有防止溢出的指令，但是通常需要做一下溢出检测，具体如下所示；

1.  int16_t q_add_sat(int16_t a, int16_t b)  

2.  {  

3.      int16_t result;  

4.      int32_t tmp;  

5.    

6.      tmp = (int32_t)a + (int32_t)b;  

7.      if (tmp > 0x7FFF)  

8.          tmp = 0x7FFF;  

9.      if (tmp < -1 * 0x8000)  

10.        tmp = -1 * 0x8000;  

11.    result = (int16_t)tmp;  

12.  

13.    return result;  

14.}  

类似于加法的操作，需要相同定标的两个Q格式数进行相减，但是不会存在溢出的情况；

1.  int16_t q_sub(int16_t a, int16_t b)  

2.  {  

3.      return a - b;  

4.  }  

乘法同样需要考虑溢出的问题，这里通过sat16函数，对溢出做了处理；

1.  // precomputed value:  

2.  #define K   (1 << (Q - 1))  

3.  // saturate to range of int16_t  

4.  int16_t sat16(int32_t x)  

5.  {  

6.      if (x > 0x7FFF) return 0x7FFF;  

7.      else if (x < -0x8000) return -0x8000;  

8.      else return (int16_t)x;  

9.  }  

10.  

11.int16_t q_mul(int16_t a, int16_t b)  

12.{  

13.    int16_t result;  

14.    int32_t temp;  

15.  

16.    temp = (int32_t)a * (int32_t)b; // result type is operand's type  

17.    // Rounding; mid values are rounded up  

18.    temp += K;  

19.    // Correct by dividing by base and saturate result  

20.    result = sat16(temp >> Q);  

21.  

22.    return result;  

23.}  

1.  int16_t q_div(int16_t a, int16_t b)  

2.  {  

3.      /* pre-multiply by the base (Upscale to Q16 so that the result will be in Q8 format) */  

4.      int32_t temp = (int32_t)a << Q;  

5.      /* Rounding: mid values are rounded up (down for negative values). */  

6.      /* OR compare most significant bits i.e. if (((temp >> 31) & 1) == ((b >> 15) & 1)) */  

7.      if ((temp >= 0 && b >= 0) || (temp < 0 && b < 0)) {     

8.          temp += b / 2;    /* OR shift 1 bit i.e. temp += (b >> 1); */  

9.      } else {  

10.        temp -= b / 2;    /* OR shift 1 bit i.e. temp -= (b >> 1); */  

11.    }  

12.    return (int16_t)(temp / b);  

13.}  

定点数Xq和浮点数Xf转换的关系满足以下公式：

Xq=(int)Xf∗2n

Xf=(float)Xf∗2−n

其中XqXq为Qm.nQm.n，m表示整数位数，n表示小数位数；

1.  #include <stdio.h>  

2.  #include <stdint.h>  

3.  #include <math.h>

4.  int main()  

5.  {  

6.      // 0111 1111 1111 1111  

7.      int16_t q_max = 32767; // 0x7FFF  

8.      // 1000 0000 0000 0000  

9.      int16_t q_min = -32768; // 0x8000  

10.    float f_max = 0;  

11.    float f_min = 0;  

12.    printf("\r\n");  

13.    for (int8_t i = 15; i>=0; i--) {  

14.        f_max = (float)q_max / pow(2,i);  

15.        f_min = (float)q_min / pow(2,i);  

16.  

17.        printf("\t| Q %d | Q %d.%d| %f | %f |\r\n",  

18.               i,(15-i),i,f_max,f_min);  

19.    }  

20.  

21.    return 0;  

22.}  

运行得到结果如下所示：

注意在Q格式运算的时候，两者定标必须相同，对于数据的溢出检测也要做相应的处理。